3 Giugno 2004

E' stato trovato il 41° numero primo di Mersenne!

Il 15 Maggio, appena sei mesi dopo la scoperta del 40° primo di Mersenne, Josh Findley ha trovato un primo gigante di ben 7.235.733 cifre! In breve, questa è la notizia:

E' il settimo successo consecutivo della Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) dal 1996, anno che segnò la fine della supremazia della coppia Slowinski - Gage e del supercomputer Cray. Siamo ormai vicini all'incontro con il primo primo di oltre 10.000.000 di cifre mai visto da essere umano! Per questo record la Electronic Frontier Foundation offre 100.000 $.

Elenco aggiornato dei primi di Mersenne noti

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24 Maggio 2004

Cicale e numeri primi

Le regioni del nord-est degli Stati Uniti affrontano ancora una volta - dopo 17 anni - l'invasione delle cicale. Non siamo ancora al massimo, quando nei prati ci saranno alcune centinaia di individui per metro quadrato, tuttavia il fenomeno è ben visibile.
Le cicale sono insetti piuttosto grandi ma innocui, facile preda anche delle più piccole ma temibili cavallette. Quando escono dalle loro tane sotterranee lo fanno solo per riprodursi. Ecco come il grande naturalista J. H. Fabre descrive la loro vita:

Quattro anni di aspro lavoro sotterra e un mese di gioia al sole: ecco quale sarebbe, dunque, la vita della Cicala. Non rimproveriamo più all'insetto adulto il suo delirante trionfo. Per quattro anni esso ha portato nelle tenebre la sua sordida casacca di caratpecora, per quattro anni ha rovistato la terra con la punta delle sue pinze; ed ecco il terrazziere fangoso vestito ora in elegante costume, dotato d'ali che rivaleggiano con quelle degli uccelli, abbronzato dal sole, inondato di luce, gioia suprema di questo mondo. I cembali non saranno mai troppo fragorosi per festeggiare questa felicità, così bene guadagnata e così effimera. (Costumi degli insetti, Sonzogno 1956)

La maggior parte delle specie di cicala ha un ciclo vitale che va dai due agli otto anni, ma quelle che qui ci interessano appartegono al genere Magicicada, ed appaiono periodicamente, ogni 13 o 17 anni. Non sono combattive, volano lentamente e sono il nutrimento di uccelli, altri insetti, cani, gatti, scoiattoli e ragni, a disposizione di chiunque le gradisca, inclusi gli uomini. Molti negli USA stanno preparando speciali salsine per meglio degustarne il sapore. Del resto lo stesso Fabre ricorda l'infuso di cicala come ottimo rimedio ai disturbi delle vie urinarie e cita Dioscoride: "Cicadae, quae inassatae manduntur vescicae doloribus prosunt" (Le cicale, arrostite e mangiate, giovano contro i dolori della vescica).

Questo "stile di vita" non è certo compatibile con una lunga permanenza sulla faccia di questo impietoso pianeta. Le cicale, in poche settimane, si accoppiano, depongono le uova nei ramoscelli più sottili degli alberi, e muoiono. Dopo qualche mese le larve cadono al suolo e iniziano la loro lunga esistenza sotto terra.

Alcune cicale, come quelle del sud degli USA, sono molto veloci nel volo e non si lasciano catturare facilmente; altre ancora sono piccole e si mimetizzano molto bene. Questi comportamenti, acquisiti attraverso un processo evolutivo durato migliaia di anni, permettono loro la sopravvivenza. Le Magicicada si sono invece evolute in "nidiate" geograficamente distinte, all'interno delle quali i membri condividono lo stesso periodo (13 o 17 anni) di latenza e le medesime fasi vitali.

I biologi ritengono che le cicale periodiche si siano evolute nel Pleistocene, epoca iniziata circa 1,8 milioni di anni fa. A quel tempo le temperature estive potevano essere molto variabili e - a volte - troppo fredde per la sopravvivenza di questi insetti. Risulta evidente che siano state favorite le popolazioni che avevano un periodo di permanenza sotto terra più lungo, e dovevano affrontare più di rado il pericolo del gelo. Meglio dunque 12 o 15 anni piuttosto che 6: la probabilità di sopravvivenza della specie nel corso dei millenni è molto più elevata. Ma perchè è preferibile che il periodo sia un numero primo, come nel caso di 13 o 17?

Supponiamo che due specie periodiche di cicala, A e B, condividano un certo territorio e che i loro periodi siano rispettivamente H e K. Se M è il minimo comune multiplo di H e di K, le due specie si incontreranno ogni M anni e potranno generare degli ibridi che avranno probabilmente un periodo intermedio, minore quindi del più grande tra H e K. Per esempio se H = 6 e K =15, allora M = 30 ed ogni 30 anni si produrranno individui di periodo - diciamo -intorno a 10, che indeboliranno la specie B. Il minimo comune multiplo è massimo quando H e K sono coprimi (è il loro prodotto); chiaro dunque il vantaggio evolutivo di un periodo che sia un numero primo: esso è coprimo con tutti i periodo inferiori e si ibriderà con essi un numero minimo di volte!

Nella cartina sottostante si può vedere come le Magicicada con periodi di 13 e 17 anni sono distribuite nel territorio degli Stati Uniti:

Le due specie si incontrano soltanto ogni 221 anni.

Esiste un interessante modello matematico, che cerca di spiegare l'evoluzione di questi cicli così particolari in maniera assai diversa da quella sopra esposta.

In questo modello sono dati un predatore x di periodo X e una preda y di periodo Y. La fitness di x al tempo t è posta uguale a 0 se x non è presente (cioè t corrisponde ad un anno di latenza per x), +1 se x ed y sono presenti entrambi, -1 se se il predatore è presente ma la preda no. La fitness di y è definita in modo analogo, ma con il segno opposto.

Astraendo dagli individui, si realizza subito che in realtà si tratta di una lotta tra coppie di periodi di diversa lunghezza. Data la coppia (X,Y) è facile definire due fitness F_x(X,Y) e F_y(X,Y) che quantificano, ripettivamente, il vantaggio del predatore e della preda, nel caso in cui l'uno abbia periodo X e l'altra Y.

Consideriamo (X,Y). Tutto si ripete ciclicamente ogni XY anni. In XY anni il predatore x appare Y volte e si trova in (gradita) compagnia della preda M volte, dove M è il massimo comun divisore MCD(X,Y) di X e Y. Dunque M volte guadagna +1 e Y-M volte (in assenza della preda) ottiene -1. Complessivamente:

Guadagno Gx del predatore in XY anni
Gx = M - (Y-M) = 2M - Y =
2 MCD(X,Y) - Y

Fx(X,Y) = 2 MCD(X,Y)/Y - 1

Fy(X,Y) = 1 - 2 MCD(X,Y)/X

Se Fx(X',Y) > Fx(Xt,Y)
poniamo Xt+1 = X', altrimenti poniamo Xt+1 = Xt
Se Fy(X,Y') > Fy(X,Yt)
poniamo Yt+1 = Y', altrimenti poniamo Yt+1 = Yt

Si supponga che (X0,Y0) e tutte le mutazioni X', Y' siano limitate a rimanere nel rettangolo 
1 < X < L/2 + 2,
L/2 + 1 < Y < L + 1

Allora la successione degli (Xt,Yt) tende ad un punto fisso (X,Y)
dove Y è un numero primo

Nei tre grafici sull'asse delle ascisse c'è il tempo, sulle ordinate a sinistra i valori assunti da Y e a destra quelli di X. Le due linee spezzate rappresentano l'evoluzione nel tempo di X e di Y. In (a) si vede la convergenza a Y=17, in (b) a Y=29, in (c) a Y=2147483647=E. Quest'ultimo è il primo di Mersenne 2³¹-1.

Naturalmente esistono metodi più efficaci per trovare i numeri primi, ma è davvero sorprendente che essi scaturiscano anche dai processi evolutivi!

Grazie dunque alle Magicicade!

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25 Aprile 2004

Numeri primi e congettura di Giuga

Da sempre si cercano "criteri di primalità", ovvero condizioni che sono soddisfatte da un intero n se e solo se n è primo.

La più famosa è il Teorema di Wilson:

Teorema di Wilson
n è primo se e solo se n divide (n-1)! + 1
Ricordiamo che k! è il prodotto dei primi k interi positivi.

Quasi sempre però si conoscono condizioni che funzionano solo da un lato: "se n è primo allora vale la condizione".

Il Piccolo Teorema di Fermat (PTF) è l'esempio più noto, ed è utilissimo: si tratta di uno strumento che chiunque cerchi numeri primi porterà sempre con sé, nella sua cassetta degli attrezzi.

Piccolo Teorema di Fermat
Sia a un intero positivo qualsiasi.
Se p è un numero primo che non divide a,
allora p divide ap-1 - 1

Un numero n che divide a^n-1 - 1, si dice probabilmente primo sulla base a.

Per il PTF ogni primo p è probabilmente primo su qualsiasi base a coprima con p (ricordiamo che due interi a, b, si dicono coprimi se non hanno fattori in comune diversi da 1).

Diciamo pseudoprimo sulla base a un numero composto probabilmente primo su a. Facendo un po' di conti, il più piccolo pseudoprimo sulla base 2 che incontriamo è 341, infatti:
341 = 11 31 e 341 divide 2³⁴⁰ - 1.
Si noti che 341 non risulta probabilmente primo sulla base 3, 341 non divide 3³⁴⁰ - 1.

Il più piccolo pseudoprimo sulla base 3 è 1105, che divide 3¹¹⁰⁴ - 1.
Se denotiamo con p₁, p₂,...,p_n... la successione dei numeri primi 2, 3, 5, 7, 11,... allora la successione
P₁, P₂, P₃,..,P_n,...
dove P_n è il minimo pseudoprimo sulla base p_n risulta essere

341, 1105, 1729, 29341, 29341, 162401, 252601, 252601, 252601...

Esistono interi composti n tali che per ogni a coprimo con n, n divide a^n-1 - 1. Essi risultano pseudoprimi su tutte le possibili basi e sono detti numeri di Carmichael. Il più piccolo di essi è 561 = 3 11 17. Questo significa che, per ogni a non multiplo di 3, 11 o 17, 561 divide a⁵⁶⁰ - 1.

La successione dei numeri di Carmichael comincia con

561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041...

E' intuibile che questi interi, che fingono con grande successo di essere primi, devono avere una forma molto particolare. In effetti ciò è vero, come precisa il Teorema di Korselt (1899)

Teorema di Korselt
Un intero composto n è un numero di Carmichael se e solo se:
(K1) n è prodotto di primi distinti, n = q1 q2... qt
(quando (K1) è vera diciamo che n è privo di quadrati)
(K2) per ogni primo q che divide n, q - 1 divide n - 1

Per molto tempo ci si è chiesti se esistano infiniti numeri di Carmichael. La risposta - affermativa - è stata data nel 1994, nell'articolo "There are infinitely many Carmichael numbers", di Alford, Granville e Pomerance, pubblicato sulla rivista "Annals of Mathematics".

Veniamo ora alla congettura di Giuga. Prima di tutto, dato n, definiamo la quantità s(n)

s(n) = 1n-1 + 2n-1 + 3n-1+...+(n-1)n-1

(CG) n divide s(n) + 1

Congettura di Giuga
n è primo se e solo se n divide s(n) + 1

Teorema di Giuga
n divide s(n) + 1 se e solo se valgono:
(G1) Per ogni primo q che divide n, q divide n/q - 1
(G2) Per ogni primo q che divide n, q - 1 divide n/q - 1

la condizione (G2) è equivalente alla (K2)

Il più piccolo numero di Giuga è 30, infatti 30 = 2 3 5 e

2 divide 30/2 - 1 = 14, 3 divide 30/3 - 1 = 9, 5 divide 30/5 - 1 = 5

30, 858, 1722, 66198, 2214408306, 24423128562,
432749205173838, 14737133470010574, 550843391309130318,
244197000982499715087866346, 554079914617070801288578559178

Da quanto detto segue subito che:

Un controesempio alla Congettura di Giuga, quindi, deve essere un numero di Giuga che sia anche un numero di Carmichael. Se esistono questi numeri devono essere molto grandi. Bedocchi, nel suo articolo "Nota ad una congettura sui numeri primi", pubblicato nel 1985 sulla Rivista di Matematica dell'Università di Parma, dimostrò che un intero Giuga-Carmichael deve avere almeno 1700 cifre. Recentemente il limite inferiore è stato portato, da Borwein e altri, a 13800 cifre.

Esisteranno da qualche parte immensi interi che condividono le straordinarie proprietà dei numeri di Giuga e dei numeri di Carmichael?

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24 Marzo 2004

Come derivare i numeri interi.

Derivare un numero intero? Chi conosce integrali e derivate probabilmente sta pensando che si tratti di un'operazione banale. Intero o no, un numero è comunque una costante, e pertanto la sua derivata è zero!

Però qui non parliamo della consueta derivata, ma di una nuova funzione definita come segue sull'insieme dei numeri interi non negativi:

Definizione di derivata di un numero intero
La derivata di a si denota con a'.
1. 0' = 1' = 0.
2. Se p è primo p' = 1.
3. Dati due interi a e b, (ab)' = a'b + b'a.

Lidia Westrick, una giovane diciottenne della Maggie L. Walker Governor's School di Richmond (Virginia), ha vinto il quarto premio del prestigioso Intel Science Talent Search 2004 con una ricerca dal titolo "Investigations of the Number Derivative". Si tratta di un settore nuovo della teoria dei numeri assai interessante, e legato ad alcune delle congetture più profonde sui numeri primi.

Proviamo a fare qualche esperimento.

Se n = pq è il prodotto di due numeri primi distinti p e q, si ha n' = (pq)' = p'q + pq' = q + p. Pertanto

Teorema 1
La derivata del prodotto di due primi p e q è la loro somma.

Teorema 2
La derivata di pk è kpk-1

Dal Teorema 2 e dalla definizione si ottiene la formula che dà immediatamente n', posto che si conosca la fattorizzazione di n

Teorema 3
n' = n å ei/pi

Abbiamo ora in mano un interessante sistema dinamico discreto definito sugli interi. Dato n possiamo calcolare le derivate successive, n', n'', ... n^(k), ... (n^(k) denota la k-esima derivata di n) ottenendo la traiettoria di n.

Per esempio la traiettoria di 923013 è

{923013, 1122051, 763105, 261671, 20531, 5915, 2938, 1721, 1, 0}

Teorema 4
1. Gli unici punti fissi (quelli per cui n' = n) sono
   lo 0 e i numeri della forma pp, con p primo.
2. Se n = pp m, con p primo e m maggiore di 1, 
   allora la successione n(k) tende all'infinito.

{12, 16, 32, 80, 176, 368, 752, 1520, 3424, 8592, 20096, 70464, 235072,...}

Tipo 1: punto fisso
Tipo 2: arriva a 0 in un numero finito di passi
Tipo 3: diverge all'infinito

Congettura 1
Non ci sono altri tipi di traiettoria. 
In particolare l'equazione differenziale
n(k) = n
ha i punti fissi come uniche soluzioni.

Congettura 2
L'equazione n' = 2b ha soluzioni per ogni b maggiore di 1.

Congettura di Glodbach
Ogni intero pari maggiore di 2 è somma di due numeri primi.

Per a dispari, n' = a non sempre ha soluzioni (per esempio non ha soluzioni con a = 3, 11, 17, 23, 29, 35, 37, 47,...).

Una importante congettura che riguarda la derivata seconda è la seguente

Congettura 3
L'equazione differenziale n'' = 1 ha infinite soluzioni.

Siano q e p primi con q = p + 2.
Posto n = 2p si ha:
n' = 2 + p = q
n'' = q' = 1

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8 marzo 2004

Etica, Religione e Matematica

Durante il mese di febbraio 2004 sono stati publicati diversi articoli i cui autori tentano di misurare, pesare, convalidare scientificamente situazioni, eventi e credenze che di solito vengono con cura evitati dalla scienza ufficiale.

Nel corso dell'anuale meeting della AAAS (American Association for the Advancement of Science) un matematico e uno psicologo hanno presentato i risultati di una loro decennale ricerca. Essi sostengono che è possibile attraverso un rapido test determinare a priori quale potrà essere la durata di un matrimonio.
I due autori sono James Murray e John Gottman. Il primo è un matematico, docente alle Università di Oxford e di Washington, che si è occupato per un quarto di secolo di applicazioni alla biologia, il secondo è uno psicologo, che nello stesso periodo ha studiato le relazioni interpersonali nel suo "Love Lab" presso l'Università di Washington.
Le coppie si presentano e vengono riprese durante una conversazione - di circa 15 minuti - nella quale discutono parecchie questioni intorno a sesso, matrimonio, soldi e famiglia. Alla fine ricevono un punteggio: gioia, ottimismo e umorismo fanno guadagnare punti, mentre ira, sarcasmo e disprezzo risultano negativi.
Il matrimonio ha buone possibiltà di riuscita se la somma dei valori positivi è almeno cinque volte quella dei negativi.
Il modello matematico che alla fine effettua la previsione è complesso, e tiene conto, per esempio, dei tentativi che vengono fatti per cambiare il corso della conversazione, quando ha preso una brutta piega, o di sanare le ferite inferte dal partner troppo aggressivo.
Come nelle migliori tradizioni matematiche, si trova alla fine che esistono essenzialmente solo 5 tipi di matrimonio.
Le predizioni fatte, per un gran numero di coppie, sono risultate valide nel 94% dei casi, dopo un periodo di 4 anni dal matrimonio.
Gli autori hanno scritto, nel 2002, in collaborazione con altri, un libro sull'argomento: "Gottman, Murray, Swanson, Tyson, and Swanson, The Mathematics of Marriage: dynamic nonlinear models, Cambridge Mass., MIT Press". E' interessante notare che il modello finale risulta abbastanza simile a quello classico preda-predatore.

Dall'amore terreno passiamo ai miracoli.

Un matematico russo, Naum Voltsinger, sostiene di avere dimostrato che il mar Rosso si aprì davanti a Mosé per pure cause naturali.
Così narra il fatto il Salmo 114:

Quando Israele uscì dall'Egitto,
i figli di Giacobbe da una terra straniera,
Giuda divenne il popolo santo,
Israele proprietà del Signore.
Il mare vide e fuggì via,
il Giordano tornò indietro;
come capre saltarono i monti,
come agnelli, le colline.

Voltsinger e il suo collega Alexei Androsov, in un articolo pubblicato sul Bollettino dell'Accademia delle Scienze russa, dal titolo 'Modelling of the hydrodynamic situation during the Exodus', provano, basandosi anche su loro precedenti ricerche di fluidodinamica, cha particolari condizioni di marea concomitanti con un vento stabile di circa 30 metri al secondo e la scogliera sommersa in quella zona, possono avere determinato lo spalacarsi delle acque.
La teoria spiega anche il subitaneo richiudersi delle acque sulle truppe del Faraone, lanciate all'inseguimento dei fuggitivi.
Il matematico ha tenuto a sottolineare che la sua scoperta non è affatto incompatibile con la fede. Voltsinger ha dichiarato che la scienza non contraddice la religione, Dio non ha violato le leggi della natura, ma semplicemente gli Israeliani sono arrivati lì al momento giusto.

E veniamo, in fine, all'esistenza di Dio.

Il fisico Stephen Unwin nel suo libro, "The Probability of God: A Simple Calculation That Proves The Ultimate Truth" arriva alla conclusione che Dio esiste con una probabilità del 67%.
Come lo stesso Unwin ammette, il risultato è sconcertante, se non inquietante per molti lettori, e tende a scontentare tutti, poiché ognuno di noi desidera certezze, vuole sapere la verità.
L'autore, con un PhD nel campo della gravità quantististica, è attualmente presidente della Società da lui stesso fondata, la "Unwin Company-Integrated Risk Management", e lavora sui numeri e le previsioni da tutta la vita.
Uno degli strumenti che utilizza è il Teorema di Bayes, che permette di calcolare la probabilità a posteriori. Consente cioé di valutare la probabilità dell'evento A posto che B si sia verificato.
Unwin pone a favore della esistenza di Dio, per fare un esempio, il fatto che si diano aiuti in denaro ad un povero, il quale certamente non potrà mai restituirli. Viceversa i disastri naturali, o il cancro, nelle sue equazioni, tendono ad abbassare il risultato, che alla fine è 67%.
L'autore ha ricevuto critiche feroci in specie dai fautori dell' 'Intelligent Design", una teoria molto accreditata in certi settori dell'opinione pubblica americana, avversi al Darwinismo. Come mai non rientra nelle sue equazioni alcuna forma di progetto intelligente del mondo?
La risposta del fisico è che nel corso della sua educazione non ha mai percepito un conflitto tra la descrizione religiosa del mondo e quella naturalistica. E si stupì fortemente, quando si recò in Usa, del dibattito esistente, per lo più costituito da assolute certezze opposte le une alle altre.
Egli riteneva che in fondo tutti sono insicuri sul fatto che Dio esista, e pertanto iniziò a tentare di calcolare effettivamente la probabilità di questo evento.
Al suo libro è accluso un foglio di calcolo Excel nel quale ognuno può inserire i suoi dati. Riceverà come risposta la probabilità che egli assegna, nella sua vita, all'esistenza di Dio.
Da parte sua Unwin arriva al 95%.
Trovo affascinanti le idee di Ulwin.
Per quanto mi riguarda personalmente, al verdetto dello spreadsheet della Microsoft preferisco, senza confronti, questi meravigliosi versi del Salmo 19:

Narrano i cieli la gloria di Dio,
gli spazi annunziano l'opera delle sue mani.
Un giorno all'altro ne dà notizia,
una notte all'altra lo racconta,
senza discorsi e senza parole.
Non è voce che si possa udire.
Il loro messaggio si diffonde sulla terra,
l'eco raggiunge i confini del mondo.

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13 febbraio 2004

Quante caramelle possono stare in un barattolo?

Il problema dell'impacchettamento di sfere ha una grande importanza, sia nella matematica pura che nelle applicazioni, come ricorderà chi ha letto il mio recente blog Codici correttori e impacchettamenti di sfere.

Nel numero di Science che è uscito oggi sono pubblicati due articoli sull'argomento: "Packing in the Spheres", di David A.Weitz (a pagina 968), e "Improving the Density of Jammed Disordered Packings Using Ellipsoids", di Aleksandar Donev et al. (a pagina 990).

Come sappiamo dal citato blog, l'impacchettamento di sfere più denso possibile occupa circa lo 0,74 per cento dello spazio disponibile, e corrisponde al cosiddetto reticolo cubico a facce centrate, si pensi ad una piramide di arance. Si tratta però di una struttura estremamente regolare, impossibile da realizzare se dobbiamo disporre moltissimi oggetti sferici (per esempio piselli) in una scatola. Se riempite un contenitore di sferette, senza particolari accorgimenti, lasciando che si dispongano naturalmente, otterrete una densità intorno a 0,6. E' noto da sempre che si può farne entrare ancora, scuotendo la scatola. Ricordate lo splendido passo di Luca 6, 36-38?

"Siate misericordiosi, come è misericordioso il Padre vostro. Non giudicate e non sarete giudicati; non condannate e non sarete condannati; perdonate e vi sarà perdonato; date e vi sarà dato; una buona misura, pigiata, scossa e traboccante vi sarà versata nel grembo, perché con la misura con cui misurate, sarà misurato a voi in cambio".

Se agitate un poco la scatola, le sferette si disporranno in modo tale che ognuna di esse sarà bloccata da quelle adiacenti, creando una configurazione stabile ma casuale, di densità 0,64 circa. Anche simulazioni al computer, con diversi algoritmi, forniscono questo valore. Si può fare di meglio soltanto facendo saltare le sferette, scuotendo verticalmente e con energia la scatola. Le sfere tenderanno allora a disporsi per strati, avvicinadosi all'impaccamento ideale, con densità vicina al massimo assoluto: 0,74. Peraltro è evidente che raramente una tale azione è possibile, o consigliabile.

Risultati nuovi e illuminanti sono stati ottenuti, presso la università di Princeton, da Paul Chaikin e Salvatore Torquato (sopra, nella foto) giocando con le famose caramelle M&M's Chocolate Candies®. Questi dolcetti, se versati e scossi delicatamente, producono densità anche più elevate del 68 per cento. Ancora più sorprendente è il fatto che se sostituite le caramelle con oggetti della stessa forma ovoidale, ma leggermente diversi gli uni dagli altri, un poco più lunghi o più spessi, la densità aumenta. I risultati sono stati confermati da sofisticati esperimenti al computer.

La spiegazione sembra essere nelle forze di torsione che si producono. La perfetta simmetria delle sfere permette solo movimenti di traslazione, mentre gli ovetti, nell'accumularsi, ruotano, e tendono ad occupare tutto lo spazio in modo ottimale.

Ancora una volta "vive la difference"!

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