Nella figura 1 vedete il cosiddetto triangolo di Pascal. Precisiamo che questo nome è dovuto al fatto che è stato Pascal a diffonderne la conoscenza attraverso l'opuscolo "Trattato sul triangolo geometrico"; esso però era già noto a Niccolò Fontana da Brescia (1499?-1557), detto Tartaglia.
Le proprietà di questo triangolo sono molte e meravigliose e lo si può considerare una vera palestra di possibili esercitazioni per il matematico apprendista. Come sarà chiaro nel seguito abbiamo già incontrato questo triangolo come automa cellulare unidimensionale e come frattale nella forma di L-Sistema e di IFS.
Vediamo di comprendere il significato di quei numeri. Scriviamo (a+b)2 e (a+b)3.
(a+b)2 =
1
x a2 +
2
x ab +
1
x b2;
(a+b)3 =
1
x a3 +
3
x a2b +
3
x ab2 +
1
x b3.
Si osserva subito che i coefficienti
1 2 1
e
1 3 3 1
sono rispettivamente la terza e quarta riga del triangolo in figura 1.
In figura 2 si sono numerate le righe con indici (verdi) che partono da 0. Possiamo vedere che la riga di indice n contiene esattamente i coefficienti dello sviluppo della potenza del binomio (a+b)n. Questo vale anche per 0 ed 1, infatti
(a+b)0 =
1
x 1;
(a+b)1 =
1
x a +
1
x b.
Indichiamo con C(n,k) il numero di posto k nella riga n-esima del triangolo (k varia da 0 a n). Per esempio la riga n.4 contiene i numeri C(4,0)=1, C(4,1)=4, C(4,2)=6, C(4,3)=4, C(4,4)=1.
Gli interi C(n,k) si chiamano coefficienti binomiali, perché appaiono nella formula della potenza del binomio; infatti (a+b)n si scrive così:
I C(n,k) hanno anche un significato combinatorico: C(n,k) è il numero dei sottoinsiemi con k elementi che si possono estrarre da un insieme S con n elementi. Per esempio, sia dato l'insieme S={1,2,3}. Vi sono allora 3 sottoinsiemi con 2 elementi: {1,2}, {1,3}, {2,3} (si noti che l'ordine non è importante, trattandosi semplicemente di insiemi), quindi C(3,2)=3.
Otteniamo subito C(n,n)=1 (c'è un solo sottoinsieme con n elementi di S, S stesso);
C(n,0)=1 (c'è un solo sottoinsieme di S con 0 elementi, quello vuoto);
C(n,1)=n (ci sono n sottoinsiemi di S contenenti esattamente 1 degli elementi di S);
C(n,n-1)=n (il numero di sottoinsiemi con n-1 elementi è uguale al numero di quelli con 1 solo elemento).
Se si estende l'ultima considerazione fatta otteniamo che in generale C(n,k) = C(n,n-k). Dunque il triangolo è simmetrico rispetto alla bisettrice dell'angolo superiore.