L-SISTEMI, CURVE FRATTALI E DIMENSIONE FRATTALE

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Gli L-Sistemi sono dovuti a Lindenmayer (1968) il quale li introdusse per creare un modello della crescita di organismi viventi, in particolare il processo di generazione dei rami delle piante. Gli L-Sistemi sono assai interessanti, oltre che per quanto detto, anche perché forniscono un metodo matematico molto elegante per produrre alcuni figure frattali classiche come il fiocco di neve di Koch, le curve che riempiono lo spazio di Hilbert e Peano, e altre.

Gli L-Sistemi sono dei particolari sistemi di riscrittura combinati con un supporto grafico-geometrico del tipo tartaruga del Logo. Cominciamo subito con un esempio che chiarirà le cose:

Assioma = "F"
Regola di sostituzione = "F+F-F-F+F"

Il sistema di riscrittura parte dall'assioma, che è una stringa di caratteri presi da un certo alfabeto - nel nostro caso è la stringa che contiene la sola lettera F -, ed applica un certo numero di volte le regole di sostituzione (nell'esempio ce n'è una sola). Al primo passo si ha "F+F-F-F+F". Sostituendo una seconda volta otteniamo "F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F", e così via... La cosa per un essere umano è piuttosto noiosa e apparentemente insensata, ma per una macchina è velocissima e non si corre il rischio di sbagliare.
Il senso di quest'operazione è dato dall'interfaccia grafico-geometrica che, abbiamo detto, è del tipo tartaruga del Logo. Interpretiamo la lettera "F" come "Avanti" (si intende nella direzione in cui punta il muso della tartaruga), il segno "+" come "Ruota di un angolo alfa in senso antiorario", il segno "-" come "Ruota di un angolo alfa in senso orario". Bisogna precisare di quanto la tartaruga avanza quando la macchina legge la lettera "F"; questo dipende dal livello dell'iterazione. Se la tartaruga avanza di 1 unità U (per esempio 1 cm) alla iterazione iniziale 0, avanzerà di hxU (con h < 1, per esempio h=1/2) all' iterazione 1, di h²xU alla 2 e così via. In sostanza ad ogni livello di iterazione il tratto che la tartaruga percorre al comando "F" è sempre più piccolo.

Esaminiamo ora l'esempio a fianco: vedete una linea orizzontale; essa rappresenta l'assioma "F". la tartaruga parte dalla sinistra, ha il muso orientato orizzontalmente verso destra, e si muove di un lungo tratto U. Nell'esempio l'angolo alfa è 90° ed h=1/3. Dopo la prima sostituzione abbiamo "F+F-F-F+F".

Se cliccate nella finestra dell'applet la tartaruga esegue l'istruzione. Seguiamo bene quello che accade: F : la tartaruga avanza verso destra di 1/3 U; + : ruota in senso antiorario di 90°, ora ha il muso verso l'alto; F : avanza verso l'alto di 1/3 U; - : ruota in senso orario di 90°, ora è di nuovo orientata con il muso verso destra; F : ecc.

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