Sistemi iterativi

Iterazioni orbitali

IFS

SISTEMI ITERATIVI
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Rappresentazione nel piano dei numeri complessi


Un numero complesso z=a+ib può essere rappresentato nel piano cartesiano dal punto P di ascissa=a e ordinata=b.

Il modulo di z è la distanza di z dalla origine che rappresenta il numero complesso 0.
Con questa rappresentazione, per esempio, l'insieme degli z tali che |z| <= a (dove a è un numero reale positivo) diventa l'insieme dei punti del piano contenuti nel cerchio di centro l'origine e raggio a.

Questa rappresentazione è alla base di gran parte della costruzione di frattali con l'uso di iterazione di funzioni. Data una funzione f di C in C, partendo da un punto iniziale z0 possiamo ottenere una figura nel piano segnando successivamente i punti z1=f(z0), z2=f(z1), ... e in generale
zn=f(zn-1) per ogni n >= 1.
 Vediamo un primo esempio semplicissimo: poniamo f(z)=z2 e z0=i. Allora
z1=f(i)=i2=-1,
z2=f(z1)=(-1)2=1,
z3=f(z2)=12=1.
Ovviamente zn=1 per ogni n >= 2.
Poiché |f(z)|=|z2|=|z|2, se si parte da uno z0 con |z0|=1, iterando la f si rimane sempre sulla circonferenza del cerchio di raggio 1. Se |z0| > 1 la distanza degli zn dall'origine tenderà all'infinito ed essi spariranno dallo schermo dopo alcuni passi. Se però |z0| < 1 tutti gli zn avranno modulo minore di 1 e la successione (zn) tenderà a 0.
La situazione che abbiamo visto in questo esempio elementare è in realtà tipica dell'iterazione di una funzione di variabile complessa: il piano complesso è stato diviso in 3 zone. Per tutti i punti appartenenti alla prima zona, cioè quelli esterni al cerchio di raggio 1 la successione zn "scappa", ovvero |zn| tende all'infinito. I punti sulla circonferenza di raggio 1, che costituisce la seconda zona, vengono mappati nella circonferenza stessa. Nell'interno del cerchio di raggio 1 la successione converge sempre a 0; il punto all'infinito e lo 0 vengono detti attrattori dell'iterazione. Inoltre, se non si parte da punti particolari, come ad esempio i, il moto risultante da uno z0 iniziale preso sulla circonferenza risulta caotico.

Più in generale possiamo definire una successione di punti nel piano in questo modo:
si parte da un punto iniziale (x0, y0) e si applica poi la regola

xn+1=F(xn, yn)
yn+1=G(xn, yn).
La figura nel piano costituita dalla successione (xn,yn) viene detta orbita di (x0, y0).
Chiamiamo queste configurazioni iterazioni orbitali e di esse presentiamo un piccolo catalogo di esempi.

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