I sistemi iterativi producono figure frattali applicando più volte di seguito una certa funzione ai punti del piano.
Per comprendere bene come queste figure vengono formate occorrono alcune nozioni matematiche sui numeri complessi e su alcune semplici trasformazioni del piano.
I numeri complessi
L'insieme C dei numeri complessi è un'estensione dell'insieme R dei numeri reali. L'esigenza di estendere l'insieme dei reali è dovuta all'impossibilità di risolvere in R alcune equazioni. Consideriamo per esempio l'equazione
(*) x2+1=0;
poiché il quadrato di un numero reale è sempre positivo (o nullo se x=0) è chiaro che non esiste in R alcuna soluzione della (*). Viene allora introdotta l'unità immaginaria i il cui quadrato è per definizione -1. Con questa aggiunta l'equazione (*) possiede ora 2 soluzioni: i e -i.
C è definito come l'insieme di tutte le espressioni del tipo
z=a+bi
dove a e b sono numeri reali. Diciamo che a è la parte reale di z, b è la parte immaginaria di z e scriviamo a=Re(z), b=Im(z).
Così se Im(z)=0 z è un numero reale: pertanto C contiene R. Il risultato stupefacente di questo ampliamento è che adesso in C ci sono non solo le soluzioni della (*) ma tutte le soluzioni di una qualsiasi equazione
(**) f(x)=0
dove f(x) è un polinomio nella x, cioè
f(x)=anxn+an-1xn-1+...a1x+a0
dove le ai sono numeri reali. L'intero positivo n viene detto grado del polinomio. L'equazione (**) possiede in C esattamente n soluzioni (reali o complesse) se f(x) è un polinomio di grado n. Possiamo proprio dire che l'aggiunta di i ci ha fatto ottenere tanto per poco!
I numeri complessi non servirebbero se non si potessero fare con essi delle operazioni che estendono le usuali operazioni di somma, prodotto e divisione di numeri reali. Le esaminiamo ora una per una.
Somma_
Siano z e w due numeri complessi, cioè due elementi di C; allora avremo z=a+bi e w=c+di, dove a, b, c, d sono reali.
Il numero complesso s=z+w è definito da
s=(a+c)+(b+d)i.
Dunque Re(z+w)=a+c e Im(z+w)=b+d.
L'opposto di z sarà -z=-a-bi. Ovviamente z-z=0.
Prodotto_
Siano z e w come sopra. Proviamo a calcolare il loro prodotto seguendo le usuali regole dell'algebra elementare.
zw=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2.
Poiché i2=-1, raccogliendo si ottiene
zw=(ac-bd)+(ad+bc)i
Dunque Re(zw)=ac-bd e Im(zw)=ad+bc.
Prima di parlare del quoziente introduciamo il concetto di modulo di un numero complesso z, denotato con |z|: per definizione
|z| è la radice quadrata di a2+b2.
Ovviamente z=0 se e solo se |z|=0.
Per il modulo vale questa importante proprietà:
|zw|=|z||w|
Inverso di z_
Si ponga t=(a-bi)/|z|. Verifichiamo che t è proprio l'inverso di z eseguendo la moltiplicazione tz:
tz=[(a-bi)(a+bi)]/(|z|2)
Al numeratore otteniamo
a2-b2i2=a2+b2.
A denominatore abbiamo il quadrato del modulo di z, cioè a2+b2.
Il risultato è dunque che tz=1, cioè t=1/z.
Quoziente_
Per calcolare ora il quoziente w/z con z diverso da 0, sarà ora sufficiente calcolare il prodotto w(1/z).