Il Corso di Teoria dei Numeri si tiene nel I semestre.
Il Corso vale 7 crediti.
Finalità
del Corso
Il corso si propone di introdurre lo studente alla teoria aritmetica
classica dei campi di numeri algebrici.
Dato un insieme finito di numeri algebrici, il più piccolo
sottocampo di C che li
contiene è un'estensione finita E del campo razionale Q. In E è possibile dare la
nozione di elemento intero e la totalità degli elementi interi
di E forma un anello R per molti versi analogo all'anello Z dei numeri interi. L'analogia
è però parziale in quanto alcune notevoli
proprietà valide nell'anello
Z risultano false nell'anello
R, ad esempio in R non vale in generale la decomposizione unica degli
elementi in elementi irriducibili.
Nella prima parte del corso
si
studierà il problema di dare condizioni necessarie e sufficienti
affinchè in un anello di interi algebrici valga la
proprietà di decomposizione unica e si vedrà come,
passando dagli elementi agli ideali, sia possibile dare una
proprietà di decomposizione valida più in generale.
Usando la teoria degli ideali si vedrà come sia possibile
definire un indice di complessità h dell'aritmetica di R, detto
numero delle classi, e come tale numero sia sempre finito.
La seconda parte
sarà un'introduzione alle cosiddette funzioni L, una
generalizzazione della funzione zeta di Riemann, finalizzata alla
dimostrazione di formule analitiche per il numero delle classi.
Storicamente, la motivazione per lo studio di queste questioni
è la determinazione di soluzioni razionali di equazioni
polinomiali in più variabili (equazioni diofantee).
Ad illustrazione della teoria, si studieranno in dettaglio alcuni
casi concreti: campi quadratici (equazione di Pell), campi cubici,
campi ciclotomici (equazione di Fermat).
Testi
Alcuni testi di riferimento:
Tesi
Gli studenti che lo desiderino potranno approfondire in
modo
indipendente
parti del programma o argomenti correlati per la preparazione di tesi
per la prova finale della Laurea Magistrale.