La formula di Taylor

Serve per approssimare una funzione localmente (vicino a un punto) con un polinomio.
Data una funzione f(x) (derivabile fino all'ordine n) e un punto x0 del dominio il polinomio di Taylor di ordine n e'
Pn(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+1/2!f''(x0)(x-x0)2+1/3!f'''(x0)(x-x0)3+....+1/n!f(n)(x0)(x-x0)n
Sotto la condizione che la funzione abbia derivate continue fino all'ordine n, la differenza tra f(x) e Pn(x) e' trascurabile rispetto a  (x-x0)n (resto della formula di Taylor secondo Peano).

Esempio: prendiamo f(x)=sin(x)

[Maple Plot]

Allora P1(x)=x

[Maple Plot]

P3(x)=x-x3/6

[Maple Plot]

P5(x)=x-x3/6+x5/5!

[Maple Plot]

P7(x)=x-x3/6+x5/5!-x7/7!

Ecco il grafico di sin(x) e  P1(x)

[Maple Plot]

di sin(x),  P1(x)  e  P3(x)

[Maple Plot]

di sin(x),  P1(x),  P3(x) e P5(x)

[Maple Plot]

di sin(x),  P1(x),  P3(x), P5(x) e P7(x)

[Maple Plot]

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