Molte figure che compaiono in questa applet sono grandi e tendono o a sparire completamente dallo schermo perché si muovono velocemente o ad eseguire parti interessanti al di fuori di esso. Spesso vi converrà diminuire la loro grandezza con il tasto "<" premuto alcune volte. Potete sempre usare "Recenter" e cliccare sui bordi dello schermo per spostare l'inquadratura nella direzione opposta.
Se non le conoscete leggete le istruzioni.

Thue
Azionando l'applet (che conviene rimpicciolire) partono 4 trenini nelle 4 direzioni, producendo degli alianti che collidono. Quello che ci interessa sono le 4 sequenze diagonali di semafori * che si leggono partendo dal centro. Il centro è vuoto e la successione comincia con 0; seguono 1 1, cioè vi sono 2 semafori uno di seguito all'altro, poi vi è uno spazio vuoto che leggiamo come 0, poi 1 1 e così via. L'inizio della successione è il seguente: 0110110111110110111110110110...

Questa successione è definita in modo ricorsivo, in maniera simile alla famosa successione di Prouhet-Thue-Morse. Il matematico Axel Thue (1863-1922) si chiese se esista una sequenza infinita binaria (fatta di 0 e 1) nella quale non appaiano mai 2 blocchi consecutivi di 3 simboli uguali nè blocchi della forma awawa dove a è 0 od 1 e w un arbitrario blocco binario. In effetti esiste, e comincia così: 0110100110010110100101100110...
Essa può essere definita formalmente in molti modi; ne vediamo due. Nel seguito dato un bit t denotiamo con t' il suo complemento: t'=0 se t=1, t'=1 se t=0.

1) La sequenza binaria t_n di Prouhet-Thue-Morse è definita ricorsivamente da:

t₀=0
t_2n=t_n e
t_(2n+1)=t_n' per ogni n>=0.

2) Denotiamo con s(n) la somma delle cifre dell'espressione binaria dell'intero n. Per esempio, se n=13 la sua espressione binaria è 1101 e s(13)=3. Considerata la successione

s(0), s(1), s(2), ... si trasformi ogni s(n) in 0 se s(n) è pari e in 1 se s(n) è dispari; la successione risultante è ancora quella di Prouhet-Thue-Morse.
La successione costruita dagli alianti è invece la successione binaria

v₀=0,
v_n=1 se n non è divisibile per 3 e
v_n=(v_n/3)' se n è divisibile per 3

Mettendo una virgola, cioè considerando il numero

0,110110111110110111110110110... si ottiene un numero trascendente detto numero di Thue. I numeri trascendenti hanno la caratteristica di non essere lo zero di alcun polinomio con coefficienti razionali, al contrario per esempio del numero irrazionale radice di 2, che è zero di
x²-2.

E' veramente straordinario che i nostri alianti riescano a costruire questo numero!