Se una superficie cubica ha un numero infinito di punti singolari, allora tali punti costituiscono una retta. Esempi di superfici cubiche con una retta doppia sono i seguenti:
| S20 | S21 | S22 | S23 |
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In tal caso la superficie cubica è rigata e cioè è costituita da un'unione di rette. Pertanto ogni punto della superficie appartiene a una retta che sta tutta sulla superficie.
Una superficie cubica rigata S è un insieme di rette dello spazio.
Per descrivere tali rette, fissiamo due rette sghembe r, s e una circonferenza C a due a due non complanari (dette curve direttrici della superficie S) e tali che s e C non abbiano punti in comune, mentre r e C ne abbiano uno solo. Consideriamo poi un fascio di piani di asse s. Ogni piano del fascio interseca la circonferenza C in due punti A e B e la retta r in un punto P. Al variare del piano le rette AP e BP generano la superficie S. La retta r costituisce la retta dei punti doppi per S.
Un'animazione illustra
il concetto.
Osserviamo che il piano del fascio incontra la circonferenza in due punti che possono essere:
I due punti uniplanari della retta doppia vengono anche detti cuspidali e delimitano il segmento della retta r formato da punti biplanari reali in cui si incontrano due falde reali della superficie. Tale segmento può essere pertanto un segmento limitato o una semiretta o una retta a seconda che i due punti cuspidali siano rispettivamente al finito, uno al finito e uno all'infinito o immaginari coniugati.
Quando la retta s tende ad avvicinarsi sempre più alla retta r otteniamo come superficie limite una superficie cubica rigata, detta di Cayley, dove i due punti cuspidali vengono a sovrapporsi in un unico punto cuspidale (che conta per due!). Ogni altro punto della retta doppia di una superficie rigata di Cayley è un punto biplanare intersezione di due falde reali. L'unico punto cuspidale in questo caso si può trovare al finito o all'infinito.