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La Superficie Diagonale di Clebsch Equazione:

La superficie diagonale di Clebsch è una superficie cubica liscia, cioè non ha punti singolari. Su di essa vi sono esattamente 27 rette che si possono ammirare nella figura in fondo alla pagina.

Un teorema afferma che una qualsiasi superficie cubica liscia ha 27 rette, ma non sempre si possono vedere tutte, infatti esse possono essere immaginarie oppure possono trovarsi sul "piano all'infinito", per noi sfortunatamente irraggiungibile! La superficie diagonale di Clebsch ha invece tutte le 27 rette ben visibili.

Per un teorema (Sylvester-Clebsch) l'equazione di una superficie cubica liscia (senza punti singolari) di P³(C) si può porre sotto la forma

= 0 (equazione pentaedrale),

= 0.

= 0, (= 0.).

Consideriamo in ciascuno dei cinque piani del pentaedro il quadrilatero completo determinato dalle quattro rette in cui i rimanenti quattro piani intersecano il piano dato. Per ciascun quadrilatero abbiamo tre diagonali che si ottengono congiungendo le coppie di punti che non giacciono su una delle quattro rette che formano il quadrilatero, pertanto 15 rette in tutto (3 per ciascuno dei 5 piani). Queste 15 rette (le "rette diagonali") giacciono sulla superficie di Clebsch, che proprio da questo fatto prende il nome di superficie diagonale.

Oltre alle 15 "rette diagonali" esistono altre 12 rette che formano quella che si chiama una bisestupla di Schaefli.

Nell'immagine seguente è possibile visualizzare i vari gruppi di rette:

Visualizza: Solo la superficie Le 15 rette diagonali Le altre 12 rette Tutte le 27 rette Le rette diagonali che giacciono sui singoli piani: A B C D E