a Palazzo Campana [via Carlo Alberto 10]
Colloquium: Von Neumann's Problem
Boban Velickovic (Universitè Paris 7)A well known problem of Von Neumann asks if every ccc weakly distributive complete Boolean algebra is a measure algebra. A closely related question of Maharam, known as the Control Measure Problem, asks if every complete Boolean algebra carrying a continuous submeasure is actually a measure algebra. We discuss some recent work on these two problems and their relationship and present some new results. In particular, by strengthening either one of Von Neumann's conditions one obtains that the Boolean algebra is a Maharam algebra, i.e. carries a continuous strictly positive submeasure.
Lunedì 16 maggio ore 11:00
Martedì 17 maggio ore 11:00
a Palazzo Campana [via Carlo Alberto 10]
Minicorso: Model theory for metric structures
Alexander Berenstein (University of Illinois, Urbana)A metric structure is a many-sorted structure with each sort a metric space, which for convenience is assumed to have finite diameter. Additionally, there are functions (of several variables) between sorts, assumed to be uniformly continuous. Examples include metric spaces themselves, measure algebras (with the metric d(A,B) = m(A*B), where * is symmetric difference), and structures based on Banach spaces (where one interprets the sorts as balls), including Banach lattices, C*-algebras, etc.
The usual first-order logic does not work very well for such structures, and several good alternatives have been developed. One is the logic of positive bounded formulas with an approximate semantics (see [3]). Another is the setting of compact abstract theories (cats) (see [1]). A recent development, which will be emphasized in this course, is the convergence of these two points of view and the realization that they are also connected to the [0,1]-valued continuous logic that was studied extensively in the 1960s and then dropped (see [2]). This leads to a new formalism for the logic of metric structures in which the operations of sup and inf play a central role.
The development of this continuous logic for metric structures is an ongoing project being carried out as a collaboration among Itay Ben-Yaacov (Wisconsin), Alex Berenstein (Illinois), Ward Henson (Illinois), and Alex Usvyatsov (Jerusalem).
The analogy between this logic for metric space structures and the usual first order logic for ordinary structures is far reaching. Continuous logic satisfies the compactness theorem, Lowenheim-Skolem theorems, diagram arguments, existence of saturated and homogeneous models, characterizations of quantifier elimination and model completeness, Beth's definability theorem, Craig's interpolation theorem, the omitting types theorem, fundamental results of stability theory, and appropriate analogues of essentially all results in basic model theory of first order logic.
The purpose of this tutorial is to present this logic for metric structures, and to show a few of its application areas, with emphasis on probability spaces and certain linear spaces from functional analysis.
References:
[1] I. Ben-Yaacov, Positive model theory and compact abstract
theories, J. Math. Logic 3 (2003), 85--118.
[2] C. C. Chang and H. J. Keisler, Continuous Model Theory,
Princeton Univ. Press (1966).
[3] C. W. Henson and J. Iovino, Ultraproducts in Analysis, in
Analysis and Logic, London Mathematical Society Lecture Notes
262, Cambridge University Press (2002), 1--113.
a Palazzo Campana [via Carlo Alberto 10]
I metodi dell'analisi nonstandard: una introduzione critica
Mauro Di Nasso (University of Pisa)L'analisi nonstandard costituisce forse una delle più rilevanti applicazioni della logica matematica alle altre aree della matematica. In questo seminario introdurrò i metodi dell'analisi nonstandard e discuterò alcuni dei suoi aspetti fondazionali. In particolare, tratterò brevemente dei seguenti argomenti:
- Le cosiddette teorie nonstandard degli insiemi e le loro connessioni con i grandi cardinali;
- Modelli nonstandard con speciali proprietà "combinatorie";
- Alcune naturali connessioni con ultrafiltri speciali la cui esistenza è indipendente dai principi della matematica usualmente accettati (ZFC).
a Palazzo Campana [via Carlo Alberto 10]
The Lascar group and hyperimaginaries
Enrique Casanovas (University of Barcellona)We will present the topological group known in model theory as the Lascar group and we will discuss its relation with imaginaries and hyperimaginaries in the context of stable and simple theories.
in Aula S di Palazzo Campana [via Carlo Alberto 10]
prosegue di martedì pomeriggio fino al 22 marzo
Il gruppo degli automosfismi
di strutture del prim'ordine
Lo studio del gruppo degli automosfismi di strutture del prim'ordine coinvolge metodi di teoria dei modelli, teoria degli insiemi e teoria dei gruppi di permutazione. A ciascuno di questi aspetti verrà prestata attenzione con seminari informali. Al momento prevediamo i seguenti contributi (altri temi e relatori verranno concordati con i partecipanti):Domenico Zambella parlerà degli amalgami di Fraïsse. Un metodo per costruire strutture con un ``ricco'' gruppo di automorfsmi.
Alessandro Andretta parlerà delle proprietà algebriche e topologiche del gruppo Sym(ω).
Silvia Barbina parlerà di ricostruzione di strutture dal loro gruppo degli automorfismi e di automorfismi generici: secondo Truss e secondo Fraïsse.
Enrique Casanovas (Università di Barcellona) parlerà (da confermare) sul gruppo di Galois-Lascar delle struttura del prim'ordine.
in Aula S di Palazzo Campana [via Carlo Alberto 10]
Preordini analitici universali
Riccardo Camerlo (Politecnico di Torino)La teoria della riducibilità boreliana permette di comparare relazioni finitarie su spazi standard Borel mediante una gerarchia di complessità. In particolare, un preordine analitico < definito su uno spazio standard Borel X è universale se, per ogni spazio standard Borel Y e ogni preordine analitico <' su Y, esiste una funzione boreliana
g : Y → X tale che y <' z ⇒ g(y) < g(z)
Tipici esempi di preordini analitici si generano richiedendo l'esistenza di monomorfismi o epimorfismi su spazi di strutture algebriche o topologiche. Verranno presentati esempi di preordini analitici universali generati in entrambi i modi, evidenziando analogie e differenze tra i due casi e discutendo alcuni problemi aperti.
in Aula S di Palazzo Campana [via Carlo Alberto 10]
Ricostruzione di strutture dal loro gruppo di automorfismi
Silvia Barbina (University of Leeds)I risultati di 'ricostruzione' sono motivati dalla seguente domanda: se conosciamo il gruppo degli automorfismi di una struttura matematica, quanto conosciamo della struttura stessa?
Esamineremo il contesto in cui la domanda ha senso e introdurremo una tecnica di ricostruzione sviluppata da M. Rubin. Daremo una applicazione del metodo di Rubin al gruppo proiettivo generale lineare PGL(V) e ai gruppi proiettivo simplettico, unitario e ortogonale nella loro azione sullo spazio proiettivo PG(V), dove V è uno spazio vettoriale di dimensione infinita numerabile su un campo finito.