Titolo della tesi: "La Geometria delle Ostruzioni per Famiglie di Curve Proiettive"
Soggetto: Geometria Algebrica (Teoria delle Deformazioni)
Relatore: Prof. Chiantini Luca
Nello studio delle varietà algebriche, vi sono due modi opposti di porsi davanti al problema. C'è chi studia le varietà più particolari (quali le intersezioni complete, le varietà di codimensione piccola, ecc.), sulle quali la teoria è naturalmente più avanzata; c'è invece chi cerca di determinare le proprietà di oggetti il più possibile generici. Quest'ultimo approccio è complicato per il fatto che non risulta quasi mai agevole descrivere direttamente le varietà "generiche"; per ottenere informazioni su di esse, si usa in definitiva una loro degenerazione ad oggetti speciali.
Risale agli albori della Matematica moderna l'osservazione che variando in modo continuo i coefficienti delle equazioni che definiscono una varietà V (su un campo infinito, ad esempio C), si ottiene una variazione continua della classe di isomorfismo di V. Benché già implicito nei lavori di Riemann e Gauss, questo principio è stato sistemato solo con l'introduzione della metodologia algebrica, alla fine del secolo scorso. Nella classificazione delle varietà V si individuano alcune invarianti discrete, racchiuse nel polinomio di Hilbert di V (grado, genere, ecc.); fissato il polinomio di Hilbert, si ha una infinità di classi di isomorfismo, che variano in modo continuo e sono parametrizzate da un'ulteriore varietà algebrica: lo Schema di Hilbert.
Le proprietà sia globali che locali degli Schemi di Hilbert sono state oggetto di studio ininterrotto da parte dei geometri algebrici. Anche riguardo alle proprietà locali, però, le nostre conoscenze sono limitate.
Lo Schema di Hilbert parametrizza tutti i sottoschemi aventi polinomio di Hilbert fissato. Fra essi, ve ne sono di "cattivi", aventi ad esempio componenti non ridotte, punti isolati, componenti immerse, ecc.. Non stupisce il fatto che lo Schema di Hilbert abbia proprietà locali non buone nei punti che parametrizzano tali schemi. E' rimasta a lungo aperta la questione se i punti dello Schema di Hilbert che parametrizzano varietà nonsingolari fossero necessariamente anch'essi "buoni" (leggi: nonsingolari) o no. La risposta è venuta da Mumford che negli anni '60 ha trovato un esempio di curva nonsingolare corrispondente ad una singolarità dello Schema di Hilbert (la "Curva di Mumford"; cfr. [M]).
Dopo Mumford, molti autori hanno tentato di studiare meglio le singolarità che possono nascere in punti corrispondenti a curve nonsingolari. Il metodo principale fin qui usato consiste nell'esame del fascio normale N alla varietà V e nello studio delle dimensioni dei suoi gruppi di coomologia. Purtroppo questo metodo è limitato allo studio della dimensione di immersione del punto PV corrispondente a V; l'informazione che ne deriva è troppo rozza per permettere di conoscere altri dati essenziali della (eventuale) singolarità in PV.
Tentativi di un'esplorazione più approfondita sono stati fatti da alcuni autori. In [C] è portata avanti l'analisi della singolarità corrispondente alla curva di Mumford. Altre investigazioni più generali sono contenute in [Se] e in un recente lavoro di Vistoli (cfr. [Vi]), riguardante le curve localmente intersezione completa.
Lo scopo della tesi è dare un contributo in questa direzione, proponendo un approccio, implicitamente contenuto in alcuni scritti di Severi, ma mai enucleato.
Focalizziamo qui lo studio sulle curve proiettive C contenute in P3 che sono intersezione di 3 superfici nel senso che esistono 3 superfici le cui equazioni generano l'ideale di C in ogni aperto di un ricoprimento affine di P3. E' facile verificare che ogni curva di P3 è intersezione di 4 superfici, mentre lo Schema di Hilbert delle curve intersezione di 2 superfici (le "intersezioni complete") è banale. Le curve intersezione di 3 superfici rappresentano quindi una classe intermedia che risulta abbastanza interessante per i nostri fini, in quanto la curva di Mumford è una di esse.
L'idea del nostro approccio consiste nel deformare le 3 equazioni che definiscono la curva C. Si ottiene in questo modo una famiglia di punti in P3 il cui limite "piatto" determina un gruppo di punti sulla originaria curva C.
Noi proviamo che i gruppi di punti che si ottengono con questo procedimento corrispondono a divisori su C appartenenti alla stessa serie lineare S, che descriviamo. Ne segue che tali deformazioni determinano elementi dello spazio proiettivo P associato a S; tali elementi descrivono una sottovarietà XC di P.
E' evidente che le proprietà locali dello schema di Hilbert nei dintorni del punto corrispondente a C sono in qualche modo riflesse in proprietà globali di XC. Lo studio di questa relazione è tuttavia materia troppo delicata per essere compresa nella tesi e merita un lavoro di approfondimento che rimandiamo a futuri studi.
[C] - Curtin D.J.:"Obstructions to Deforming a Space Curve", Trans. AMS 267, 83-94 (1981)
[M] - Mumford D.:"Further Pathologies in Algebraic Geometry", Amer. J. of Math. 84, 642-648 (1962)
[Se] - Sernesi E.:"Topics on Families of Projective Schemes", Queen's Paper (1986)
[Vi] - Vistoli A.:"The Deformation Theory on Local Complete Intersections", Preprint (1997)